Matematická úloha

[Cyklon]

Zdravím,

přikládám obrázek k následující matematické úloze, kterou jsem měl kdysi v přijímačkách na VŠ a na které jsem si vylámal zuby . Nyní jsem úlohu oprášil a správně vyřešil, ale myslím, že postup stejně není optimální. Neví někdo jak na to?

Zadání zní: máme dánu pevnou základnu střechy Z s přímkou S, která reprezentuje povrch střechy. Jaký je úhel Alfa (sklon střechy), aby doba kontaktu dešťové kapky se střechou byla minimální.

Rozuměj: jeden extrém kdy Alfa=0 má sice nejkratší S, ale doba je nekonečná díky nulovému odtoku a druhý extrém, kdy Alfa se blíží 90st. je sice rychlost odtoku max. ale délka S je také maximální.

[Y2K]

Tak len tak laicky asi 45 stupnov

To len ked vezme do uvahy oba extremy

[upravil dne 12.4.2010 Y2K]

[Cyklon]

Y2K: nebudu říkat výsledek (dá to sice selský rozum) - musí se to právě matematicky odvodit

[Y2K]

Ja viem...to som len tak trepol...

Dnes sa mi ozaj nechce rozmyslat :papa

[Ravel]

sinus a cosinus je jediné, co jsem ve škole při matematice nechápal a asi nikdy nepochopim.

ale logicky je to těch 45°

[Cyklon]

Tak tak, je to 45 stupňů. Včera jsem se s tím lopotil asi hodinu. Věřím, že kdyby se tady našel nějaký matfyzák, tak by to vysypal z rukávů cobydup, ale je tam jeden zádrhel, který mi není jasný. Když se nikdo nenajde, tak v závěru naznačím řešení

[upravil dne 12/4/10 Cyklon]

[Y2K]

To ozaj?

Som sa trafil?

Ale ne, ked sa logiky uvazuje bez vypoctov tak to asi tak bude.

A ked si premietnem priebeh goniometrickych funkcii tak to tiez tusim vychadza v pi/4

[upravil dne 12.4.2010 Y2K]

[Cyklon]

Y2K: matematicky je to ale dost velká pakárna (alespoň pro mě), protože se nejprve musí sestavit funkce závislosti času stečení té elementární kapky na úhlu alfa a pak derivace a hledání lokálního minima funkce...

[P607Olda]

A jaký je průběh rychlosti té kapky, při jednom sklonu? Kapka teče konstantní rovnoměrnou rychlostí, anebo rovnoměrným zrychlením (něco jako volný pád?).

Vzhledem k vnitřnímu tření (viskozitě) tkutiny a značnému vlivu povrchového napětí je to úkol tak na dvě diplomovky.

PS: už například to, že při malém sklonu např. 10 st., kapka nikam nepoteče a zůstane stát.

[zabit]

tak to je jasnej priklad z dynamiky teles

[Fusion]

Nestojí na \"S\" slon?

[Cyklon]

Původně zaslal: P607Olda

A jaký je průběh rychlosti té kapky, při jednom sklonu? Kapka teče konstantní rovnoměrnou rychlostí, anebo rovnoměrným zrychlením (něco jako volný pád?).

Vzhledem k vnitřnímu tření (viskozitě) tkutiny a značnému vlivu povrchového napětí je to úkol tak na dvě diplomovky.

PS: už například to, že při malém sklonu např. 10 st., kapka nikam nepoteče a zůstane stát.

No, v zadání jsem to neměl upřesněné, ale aby to bylo vůbec řešitelné, tak se neuvažuje viskozita ani tření kapky. Rychlost se uvažuje jako volný pád v=gt.

[zabit]

takze pokud jsem to spravne pochopil tak tady je vypocet podle dynamiky teles, vse bude zalezet jako rychlosti kapka dopadne a jakou rychlosti tu strechu opusti, tudiz i na treni. takhle se to urcite pocitat u prijmacek pocitat nemelo ale je to tak dobre

http://img256.imageshack.us/i/12042010207.jpg/

necham to v puvodnim formatu aby to slo precist

[AnotherOne]

Zanedbáme trenie, kvapka po dopade sa pohýňa z nuly.

1) S=Z/cos(alfa)

S=0.5*a*t^2 a je zrýchlenie kvapky, t potrebný čas

a=sin(alfa)*g g je gravitačné zrýchlenie

Spätné dosadenie do S:

2) S=t^2*sin(alfa)*g*0.5

Porovnaním 1) a 2)

Z/cos(alfa)=t^2*sin(alfa)*g*0.5

t vyjadrené ako funkcia alfa:

t=sqrt(z/(sin(alfa)*cos(alfa)*g*0.5)) sqrt=druhá odmocnina

Treba nájsť minimum uvedenej funkcie, z/(g*0.5) je konštanta,

Dá sa k tomu samozrejme dopracovať poctivým derivovaním, sediacky rozum hovorí, že táto funkcia má minimum práve tam, kde má sin(alfa)*cos(alfa) maximum a to je pri 45 stupňoch.

edit: vloudila sa chybička

edit2: oprava zabita

[upravil dne 12.4.2010 AnotherOne]

[zabit]

ty to beres jako ze kapka jede konstatni rychlosti ?

[AnotherOne]

Nie, ide o rovnomerne zrýchlený pohyb.

[zabit]

tak to mas potom spatne, protoze tam uvazujes:

S=v*t v je rýchlosť kvapky, t potrebný čas

coz prece neplati pro zrychelny pohyb , tam plati :

Dráha rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu:

s = 1/2 a . t2 + v0 . t + s0

kde a je zrychlení, v0 je počáteční rychlost (rychlost v čase t = 0), s0 je počáteční dráha (dráha v čase t = 0), t je čas

je-li s0 = 0 , pak s = 1/2 a . t2 + v0 . t

je-li s0 = 0 , v0 = 0 , pak s = 1/2 a . t2

[AnotherOne]

Máš pravdu vypadla tam tá 1/2, výsledok to neovplyvní. Ak dovolíš tak to tam doplním.

[zabit]

tak jasny :-) jsem dneska trochu aktivni se mi podarilo dat zkousku ve skole takze

[Cyklon]

Tak nebudu déle napínat Velmi se přiblížil Another One. Tady je řešení, ale jde se na to přes úhel beta. Nechápu, proč to nevychází přes cos alfa - po derivaci úhel vychází blbě (to je právě ten zádrhel ).

RESENI