Jump to content

Matematická úloha


Cyklon
 Share

Recommended Posts

Zdravím,

přikládám obrázek k následující matematické úloze, kterou jsem měl kdysi v přijímačkách na VŠ a na které jsem si vylámal zuby :o. Nyní jsem úlohu oprášil a správně vyřešil, ale myslím, že postup stejně není optimální. Neví někdo jak na to? :myslim

Zadání zní: máme dánu pevnou základnu střechy Z s přímkou S, která reprezentuje povrch střechy. Jaký je úhel Alfa (sklon střechy), aby doba kontaktu dešťové kapky se střechou byla minimální.

Rozuměj: jeden extrém kdy Alfa=0 má sice nejkratší S, ale doba je nekonečná díky nulovému odtoku a druhý extrém, kdy Alfa se blíží 90st. je sice rychlost odtoku max. ale délka S je také maximální.

strecha_640.jpg

Link to comment
Share on other sites

Tak tak, je to 45 stupňů. Včera jsem se s tím lopotil asi hodinu. Věřím, že kdyby se tady našel nějaký matfyzák, tak by to vysypal z rukávů cobydup, ale je tam jeden zádrhel, který mi není jasný. Když se nikdo nenajde, tak v závěru naznačím řešení ;)

[upravil dne 12/4/10 Cyklon]

Link to comment
Share on other sites

Y2K: matematicky je to ale dost velká pakárna (alespoň pro mě), protože se nejprve musí sestavit funkce závislosti času stečení té elementární kapky na úhlu alfa a pak derivace a hledání lokálního minima funkce... :roll

Link to comment
Share on other sites

A jaký je průběh rychlosti té kapky, při jednom sklonu? Kapka teče konstantní rovnoměrnou rychlostí, anebo rovnoměrným zrychlením (něco jako volný pád?).

Vzhledem k vnitřnímu tření (viskozitě) tkutiny a značnému vlivu povrchového napětí je to úkol tak na dvě diplomovky.:D

PS: už například to, že při malém sklonu např. 10 st., kapka nikam nepoteče a zůstane stát.

Link to comment
Share on other sites

Původně zaslal: P607Olda

A jaký je průběh rychlosti té kapky, při jednom sklonu? Kapka teče konstantní rovnoměrnou rychlostí, anebo rovnoměrným zrychlením (něco jako volný pád?).

Vzhledem k vnitřnímu tření (viskozitě) tkutiny a značnému vlivu povrchového napětí je to úkol tak na dvě diplomovky.:D

PS: už například to, že při malém sklonu např. 10 st., kapka nikam nepoteče a zůstane stát.

No, v zadání jsem to neměl upřesněné, ale aby to bylo vůbec řešitelné, tak se neuvažuje viskozita ani tření kapky. Rychlost se uvažuje jako volný pád v=gt.

Link to comment
Share on other sites

Zanedbáme trenie, kvapka po dopade sa pohýňa z nuly.

1) S=Z/cos(alfa)

S=0.5*a*t^2 a je zrýchlenie kvapky, t potrebný čas

a=sin(alfa)*g g je gravitačné zrýchlenie

Spätné dosadenie do S:

2) S=t^2*sin(alfa)*g*0.5

Porovnaním 1) a 2)

Z/cos(alfa)=t^2*sin(alfa)*g*0.5

t vyjadrené ako funkcia alfa:

t=sqrt(z/(sin(alfa)*cos(alfa)*g*0.5)) sqrt=druhá odmocnina

Treba nájsť minimum uvedenej funkcie, z/(g*0.5) je konštanta,

Dá sa k tomu samozrejme dopracovať poctivým derivovaním, sediacky rozum hovorí, že táto funkcia má minimum práve tam, kde má sin(alfa)*cos(alfa) maximum a to je pri 45 stupňoch. :P

edit: vloudila sa chybička :)

edit2: oprava zabita

[upravil dne 12.4.2010 AnotherOne]

Link to comment
Share on other sites

tak to mas potom spatne, protoze tam uvazujes:

S=v*t v je rýchlosť kvapky, t potrebný čas

coz prece neplati pro zrychelny pohyb , tam plati :

Dráha rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu:

s = 1/2 a . t2 + v0 . t + s0

kde a je zrychlení, v0 je počáteční rychlost (rychlost v čase t = 0), s0 je počáteční dráha (dráha v čase t = 0), t je čas

je-li s0 = 0 , pak s = 1/2 a . t2 + v0 . t

je-li s0 = 0 , v0 = 0 , pak s = 1/2 a . t2

Link to comment
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Restore formatting

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

 Share

  • Recently Browsing   0 members

    • No registered users viewing this page.
×
×
  • Create New...